关于彭加勒/庞加莱猜想、我发现啦一个很有趣的评论:):)
http://samsaralyn.spaces.live.com/blog/cns!2983EF1AEFB99A1E!647.entry?wa=wsignin1.0
。。。。。我们居住的房子，如果里面没有摆放任何家具，当然就是一个长方体的形状的空间，有长，宽，高。当然，我们不讨论这样的通常的房子。
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一下，一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
嗨，我不妨假设这个球形的房子周边其实是钢做的表面，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球型房子里呆着。
现在拿一个汽球来，带到这个球形的房子里。随便什么汽球都可以（我一开始故意这么说，其实对这个汽球是有要求的）。这个汽球并不是瘪的，而是已经吹大成某一个形状了，什么形状都可以（后面要说明这也是胡说，其实对形状也是有要求的）。但是这个汽球，我们还可以继续吹大它，而且假设汽球的皮特别结实，肯定不会被吹炸了。还要假设，这个汽球的皮是无限薄的。当然，又无限薄又能够结实，这本身就是脱离实际了，但是没有办法啊，科学总是要抽象的嘛，不让抽象我们就得不出什么成果。
好，现在我们继续吹大这个汽球，一直吹啊吹。吹到最后会怎么样呢？那个庞加莱先生就猜想了，吹到最后，一定是这个汽球的表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙了。
也就是说，庞加莱定理，说的就是，一个单连通的汽球（市面上卖的汽球大多数都是单连通的），在一个球形的房子里使劲地吹，最后一定能够使汽球的表面和球形房子的墙壁紧紧贴着，一点缝隙都没有。当然，得假设这个球形的房子里的空气，随着汽球的吹大，是会被排光的。
瞧，就这么个事，象不象废话啊？为证明这件事情花了三百多页，是不是有一些吃饱了撑得慌？
不光如此，这说法还如此地学究，什么“单连通的闭三维流型同胚于三维球面”，吓唬人不是？硬要将汽球说成是流型，显摆自己学问深不是？唉，总算球面大家还是知道的。什么叫“同胚”？也够吓唬人的，就是把汽球吹大后两个表面紧紧贴着。。。。。
这个帖子里面有几个小问题:):)
一是这个帖子里面举的例子、是2维单联通闭流形
而原始的彭加勒猜想是指3维单联通闭流形
之后低阶的和高阶的(维数>=5、维数=4)的彭加勒猜想先被证明啦
但是大家发现：3维单联通闭流形的证明、有特殊性、远比其他情况复杂
所以一直拖到2000年以后、才由汉密尔顿、佩雷尔曼、丘成桐/曹怀东/朱熹平等数学家最终解决
这个复杂性涉及到3维情况下的"雪茄奇点"问题
或许这个特殊性和4维时空有关(考虑到时间和膨胀的话、我们生活的时空、可能是一个3维闭流形、即4维时空)
所以、用气球来打比方是可以的
但是这个比方忽视啦2维单联通闭流形和3维单联通闭流形的区别
而在证明其他维数的彭加勒猜想之后、到3维单联通闭流形被彻底证明
数学家用啦几十年、就是为啦证明这个区别
这几十年的努力、被"气球"这个2维单联通闭流形例子、忽视啦:):)
二是没有理解彭加勒猜想的意义
作为拓扑学的一个问题、彭加勒猜想是要对按照拓扑学概念定义的流形进行归类
这个归类的成功与否、可以检验拓扑学本身的内部相容性、"形式弹性"、容纳/扩充能力等
同时对于其他学科、如涉及空间拓扑结构的理论物理(如相对论/量子宇宙论)、也有极其重要的能力
所以气球可以充满房间、只是彭加勒猜想的全部意义的一个极其微小的部分、彭加勒猜想不光是用来说明气球和房间的关系的:):)
彭加勒猜想更大的意义、在于检验拓扑学概念定义的相容性、表达能力、和可扩充性
三是试图用朴素直觉主义全面取代形式直觉主义
单联通闭流形、是从拓扑学的定义来的
我们可以把2维单联通闭流形比喻成一个气球、但是彭加勒猜想讨论的、并不是那个气球
而是基于一组隐含概念基础、公理、推导规则、定义等的、一个显式概念
比如一个同学看见狭义相对论、就说："有这么复杂嘛？我用牛顿力学也能算出来呀！！:):)"
这里的问题在于：对于日常低速情况下、比如骑车打酱油、牛顿力学确实够用啦、但是牛顿力学能造出原子蛋嘛？！:):)
按照拓扑学概念定义的流形、应该归入柏拉图观念体的范畴
不是每一个柏拉图观念体、都有确切的对应物的
柏拉图观念体、和日常物体、既有区别、又有联系
这里就涉及到朴素直觉主义和形式直觉主义的联系/区别啦
气球来自日常生活、是朴素直觉主义
而形式直觉主义、则要求根据拓扑学的定义、来产生几何直觉
对于数学/物理问题、朴素直觉和形式直觉要相结合
朴素直觉提供啦更为广阔的想象力空间、更能直接和无意识/柏拉图观念体结合
而形式直觉更准确、某些时候更有力量
过于强调朴素直觉、有时不能看到问题的深处、甚至会犯错误(如牛顿力学)
过于强调形式直觉、有时会钻进象牙塔内转圈圈、迷失啦大方向、有时会成为无源之水/无本之木
也就是说：这个网友评论
既包含有东方哲学宽广深厚、天人合一的优点
又包含有东方哲学中缺乏形式逻辑、有时过于朴素的缺点
彭加勒老师是直觉主义一级悍将
他本人一定是既有朴素直觉、又有形式直觉
这是我们要认真学习彭加勒老师的地方：把朴素直觉和形式直觉结合起来！！:):)
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